Le diagramme de bénéfices et de pertes ressemblerait à ceci :
Si le cours de l’action est inférieur au prix d’exercice, vous perdrez ce que vous avez payé pour cette option, mais si le cours de l’action est supérieur au prix d’exercice, vous gagnerez la différence moins le coût de l’option.
Les options présentent au moins trois avantages :
Le premier est que cela limite les pertes, si vous aviez acheté une action au lieu d’une option et que vous descendiez à 70 CHF vous perdriez 30 CHF, rappelez-vous qu’en théorie vous auriez pu perdre 100 CHF si l’action descendait à 0 CHF.
Le deuxième avantage est que les options offrent un avantage si vous achetez l’action et qu’elle monte jusqu’à 130 CHF, votre investissement augmenterait de 30%, mais si vous achetez l’option vous n’aurez qu’à mettre 10 CHF et votre bénéfice de 20 CHF se traduit par un retour sur investissement de 200 CHF. L’un des inconvénients est que si vous aviez une action, votre investissement ne diminuerait que de 30 %, alors qu’avec l’option, vous perdriez 100 %.
Avec le trading d’options, il y a des chances de réaliser des profits bien plus importants, mais aussi des pertes plus importantes. Soyez très prudent avec cela !
Le troisième avantage est que les options peuvent être utilisées comme couverture. La motivation initiale pour choisir les options était de découvrir comment réduire le risque, et bien sûr une fois que les gens décident de vouloir acheter une couverture, cela signifie que d’autres personnes voudront vendre pour obtenir un bénéfice. Et c’est ainsi que les marchés sont créés.
Les options peuvent être un outil d’investissement très utile. Mais ce que Louis Bachelier a vu dans la bourse, c’est le chaos ! Surtout dans les prix des options d’actions. Même si elles existaient depuis des centaines d’années, personne n’avait trouvé une bonne façon de fixer leur prix. Jusqu’ici, les traders devaient négocier entre eux pour arriver à un accord sur quel serait le prix.
Avoir l’option de vendre ou acheter quelque chose dans le futur, semble un marché assez amorphe. Chercher a trouver un prix pour ces éléments si étranges, semble un véritable défi qui préoccupe de nombreux économistes et de nombreux hommes d’affaires depuis des siècles.
Louis Bachelier s’intéressait déjà aux probabilités et il pensait qu’il devait bien y avoir une solution mathématique à ce problème et il le proposa comme sujet de doctorat à son conseiller Jules Henri Poincaré.
On n’étudiait pas les mathématiques de la finance à cette époque, mais à la surprise de Louis Bachelier, Jules Henri Poincaré l’accepta !
Pour évaluer avec précision une option, vous devez savoir ce qui arrive aux cours des actions au fil du temps.
Le prix d’une action est fixé par une lutte acharnée entre acheteurs et vendeurs.
Le prix augmente s’il y a des personnes qui souhaitent acheter une action.
Plus les gens voudront vendre ses actions, plus le prix baissera.
Le nombre d’acheteurs et de vendeurs peut être influencé par tout, comme la météo, la politique, les nouveaux concurrents, l’innovation etc.
Louis Bachelier s’est rendu compte qu’il est presque impossible de prédire avec précision tous ces facteurs externes et internes.
Il est préférable de supposer qu’à tout moment, le prix des actions a la même probabilité de monter que de baisser et donc à long terme les prix des actions suivent une marche aléatoire, montent et descendent, comme si cela se décidait en lançant une pièce de monnaie en l’air.
Le caractère aléatoire est la marque d’un marché efficace et par efficace, les économistes entendent que l’argent ne peut pas être gagné à partir de transactions.
L’idée de ne pas pouvoir acheter des actifs pour les vendre immédiatement et réaliser un profit, est connue sous le nom d’hypothèse des marchés efficients.
Plus les gens essaient de gagner de l’argent en prédisant le marché boursier et en négociant selon ces prédictions, moins les résultats sont prévisibles, par contre les prix le sont.
Si nous pouvions prédire comment le marché fonctionnerait, nous le ferions et achèterions des actions qui, selon nous, augmenteront demain et si nous le faisions, au lieu d’augmenter demain, elles augmenteraient maintenant.
Alors que nous achetons de plus en plus d’actions de telle sorte que le fait même de prédire affecte réellement la qualité des résultats futurs, dans un marché entièrement efficace, les prix de demain ne peuvent pas avoir de pouvoir prédictif, car s’ils le faisaient, nous en profiterions aujourd’hui même.
Pensons à une machine ou planche de Galton, comme vous le savez, la machine Galton comporte des rangées de broches en forme de triangle et 6 000 billes qui glissent le long des broches. Chaque fois qu’une balle touche un piquet, il y a 50 % de chances qu’elle aille à gauche ou à droite. Chaque balle suit un chemin aléatoire lorsqu’elle passe à travers les piquets, ce qui rend impossible de prédire le chemin de chaque balle.
Mais si j’inverse ce système, nous pouvons voir que toutes les boules forment ensemble un modèle prévisible, c’est-à-dire que l’ensemble des marches aléatoires crée une distribution normale. Le centre est situé au milieu, car le nombre de passes dont une balle pourrait avoir besoin pour arriver ici est le plus grand et plus il va loin, moins une balle aurait besoin de passes pour y arriver. Si vous voulez en finir ici, il faut que la balle aille à gauche, à gauche, à gauche, jusqu’en bas. Il n’y a qu’un seul chemin pour arriver ici, mais pour arriver au milieu, la balle peut emprunter des milliers de chemins.
Louis Bachelier pensait que le prix d’une action se comportait de la même manière qu’une balle dans la machine de Galton, chaque niveau de piquet représentant un pas de temps.
Après une courte période, le cours de l’action peut augmenter ou baisser légèrement, mais après une période plus longue, la fourchette de prix est plus large.
Louis Bachelier a décrit le prix attendu et le prix futur d’une action comme une distribution normale centrée sur le prix actuel qui s’étend dans le temps.
Louis Bachelier a redécouvert l’équation exacte qui décrit comment la chaleur rayonne des régions à haute température vers celles à basse température. Bien que cela ait été décrit pour la première fois par Joseph Fourier en 1822, Louis Bachelier l’appelait rayonnement probabiliste.
Parce que Louis Bachelier écrivait sur la finance, la communauté de physiciens l’a toujours ignoré, mais les mathématiques à marche aléatoire résoudraient un mystère vieux de près d’un siècle de la physique.
En 1827, le botaniste écossais Robert Brown observait les grains de pollen avec son microscope et il vit que les particules en suspension dans l’eau située sur la lame du microscope se déplaçaient de manière aléatoire, car il ne savait pas si cela était lié au fait que le pollen était un matériau porteur de vie. Il a testé d’autres particules non-organiques telles que la poussière de lave, la poussière de roche, la poussière de météorite… Mais, il a vu qu’elles se déplaçaient de la même manière, alors Robert Brown a découvert que toute particule, si elle était suffisamment petite, présentait ce mouvement aléatoire, qui est devenu connu sous le nom de mouvement brownien. La cause de ce phénomène, un mystère.
80 ans plus tard, en 1905, Albert Einstein trouva la réponse. Au cours des 200 dernières années, l’idée selon laquelle les gaz et les liquides étaient constitués de molécules est devenue de plus en plus populaire, mais tout le monde n’était pas convaincu que les molécules étaient réelles au sens physique; cela expliquait de nombreuses observations.
Cela a conduit Albert Einstein à émettre l’hypothèse que le mouvement brownien était provoqué par des milliards de molécules heurtant des particules dans n’importe quelle direction, et à tout moment. Si elle frappe plus d’un côté que de l’autre, la particule sautera momentanément.
Pour dériver les mathématiques Albert Einstein a supposé qu’en tant qu’observateur, il n’est pas possible de voir ou de prédire ces collisions avec certitude, nous devons donc supposer que la particule est susceptible de se déplacer dans une direction ou une autre, de la même manière presque identique, le prix d’une des actions est similaire à des particules microscopiques se déplaçant comme une balle dans la machine ou planche de Galton.
L’emplacement attendu d’une particule est décrit comme une distribution normale qui s’étend avec le temps, c’est pourquoi même dans l’eau la plus calme, les particules microscopiques se déplacent. C’est la diffusion.
En résolvant le mystère du mouvement brownien, Albert Einstein a découvert la preuve définitive de l’existence des atomes et des molécules.
En vérité, Albert Einstein ne savait pas que la marche aléatoire avait été inventée 5 ans plus tôt.
Lorsque Louis Bachelier a terminé son doctorat, il avait trouvé une manière mathématique de fixer le prix d’une option !
Dans les options d’achat, si le prix futur d’une action est inférieur au prix d’exercice, la prime payée pour cette option est perdue. Mais si le cours de l’action est supérieur au prix fixé, nous aurons une différence et nous réaliserons un bénéfice net.
Si l’action augmente plus que ce qui a été payé pour l’option, la probabilité que l’acheteur d’une option gagne de l’argent est la probabilité que le prix augmente plus que le prix qu’il a payé pour l’acheter.
En géométrie, une zone verte et la probabilité que le vendeur gagne de l’argent est la probabilité que le prix reste bas, de sorte que l’acheteur ne gagne pas plus que ce qu’il a payé. La zone connue sous le nom de zone rouge apparaît en multipliant le profit ou la perte par la probabilité de chaque résultat. Louis Bachelier a calculé le rendement estimé d’une option. Alors, combien cela devrait-il coûter ? si le prix est très élevé, personne ne l’achètera, mais au contraire, s’il est très bas, tout le monde voudra l’acheter. Louis Bachelier soutenait que le juste prix est ce qui rend le rendement attendu égal pour les acheteurs et les vendeurs; les deux devraient gagner ou perdre le même montant. C’est la contribution de Louis Bachelier sur la façon de calculer avec précision le prix d’une option.
Lorsque Louis Bachelier eut terminé sa thèse, il avait battu Albert Einstein, en découvrant la marche aléatoire et en résolvant le problème que les traders d’options n’étaient pas parvenus à résoudre depuis des siècles, mais personne ne l’avait remarqué. Par contre les physiciens n’étaient pas du tout intéressés et les opérateurs n’étaient pas prêts. Ce qui manquait, c’était un moyen de gagner beaucoup d’argent.
Dans les années 1950, Edward Oakley Thorp, un jeune diplômé en physique, faisait son doctorat à Los Angeles à quelques heures de là.
Las Vegas devenait rapidement la capitale mondiale du jeu et Edward Oakley Thorp y voyait un moyen de faire fortune.
Il est allé à Vegas et s’est assis à la table de Blackjack, à ce moment-là le croupier n’utilisait qu’un jeu de cartes, et en les voyant, Edward Oakley Thorp était capable de noter mentalement toutes les cartes qui avaient été jouées. Cela lui a permis de penser que s’il pouvait trouver un avantage, il parierait plus d’argent lorsque les chances étaient en sa faveur et moins d’argent dans le cas contraire.
Il avait inventé le comptage de cartes, ce qui constituait une très grande innovation puisque le Blackjack était joué de différentes manières depuis des siècles.
Pendant un certain temps, Edward Oakley Thorp a gagné beaucoup d’argent, mais les casinos ont découvert sa stratégie et ont ajouté davantage de jeux de cartes (decks) pour réduire le profit du comptage de cartes.
Edward Oakley Thorp a donc apporté sa découverte au plus grand casino de la planète, la Bourse !
Il a créé un hedge fund avec lequel il gagnerait 20 % de rendement chaque année pendant 20 ans. La meilleure performance enregistrée jusqu’à présent a été réalisée en transférant en bourse les compétences qu’il a perfectionnées à la table de Blackjack.
Edward Oakley Thorp a été le pionnier d’un type de couverture, un moyen de se protéger contre les pertes, avec des transactions d’équilibrage ou de compensation. Edward Oakley Thorp l’a fait mathématiquement, a examiné les probabilités de gagner et de perdre, et a décidé que dans certaines conditions, vous pouvez faire pencher la balance en votre faveur en utilisant certains modèles mathématiques pour placer des paris.
Supposons que Bob vend à Alice une option d’achat et que l’action augmente. Alors Alice recevra de l’argent pour chaque 1 CHF supplémentaire que le prix de l’action augmente. Bob perdra un (1) CHF, bien qu’il peut éliminer le risque s’il possède une unité d’action. Si le prix monte, il perd un (1) CHF avec l’option, mais récupère ce 1 CHF avec l’action, si les actions baissent encore, avec l’argent d’Alice il les vendra pour ne pas courir le risque de perdre de l’argent. C’est pourquoi cela s’appelle couverture dynamique, cette dernière signifie que Bob peut réaliser des bénéfices avec un risque minimal dû à la fluctuation des prix.
Un portefeuille couvert démarrera l’option B avec un certain montant de delta d’actions, ce qui signifie que je peux vendre quelque chose sans avoir à le faire, allez de l’autre côté du marché. La façon d’y penser est que j’ai fabriqué synthétiquement une option pour vous, que je l’ai créée à partir de rien avec un trading dynamique. La couverture dynamique, comme nous l’avons vu dans l’exemple de Bob et Delta, le nombre d’actions que vous devez détenir change en fonction des prix actuels. Mathématiquement, cela représente dans quelle mesure le prix actuel de l’option change avec une variation du cours de l’action. Mais Edward Oakley Thorp n’était pas satisfait du modèle de Louis Bachelier pour les options de tarification, puisque les prix du marché ne sont pas si aléatoires, ils peuvent augmenter avec le temps si les affaires vont bien ou alors, diminuer si elles ne vont pas bien.
Le modèle de Louis Bachelier n’en a pas pris en compte, donc Edward Oakley Thorp a créé un modèle plus précis pour fixer un prix équitable qui tenait compte de cette variable. “J’ai découvert ce qu’était ce modèle au milieu de 1967 et j’ai décidé de l’utiliser pour moi-même, puis je l’ai gardé secret pour mes propres investisseurs. L’idée était principalement que nous gagnerions tous beaucoup d’argent.”
Leur stratégie reposait sur le fait que si l’option était inférieure à son modèle, elle était achetée, mais si elle était supérieure, elle était vendue. C’est-à-dire, au contraire, de cette façon, il a fini par gagner sur le marché la plupart du temps, cela a duré jusqu’en 1973, cette année-là, Fisher Black et Myron Scholes ont découvert une équation qui allait changer l’industrie.
Robert King Merton a publié sa version de manière indépendante, basée sur les mathématiques du calcul stochastique. Donc, il y avait aussi des crédits, je pensais que c’était quelque chose que j’avais découvert par moi-même 😉 mais Fisher Black et Myron Scholes ont mûri l’idée et ont fait un meilleur travail avec le modèle, car ils avaient des notions mathématiques, très strictes dans sa dérivation.
Comme Louis Bachelier, ils pensaient que les prix des options offraient une bonne probabilité aux acheteurs et aux vendeurs, mais leur approche était nouvelle, ils proposaient que s’il était possible de constituer un portefeuille d’options et d’actions sans risque, comme celui de Edward Oakley Thorp, avec sa couverture Delta. Dans un marché efficace et équitable, ce portefeuille ne devrait rapporter que le taux sans risque, et le même argent serait gagné s’il était investi dans l’actif le plus sûr, les bons du Trésor américain. L’approche était que si des risques supplémentaires n’étaient pas pris, il ne serait pas possible de recevoir des rendements supplémentaires.
Pour décrire l’évolution des cours des actions au fil du temps, Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton ont utilisé une version améliorée des modèles de Louis Bachelier, et d’Edward Oakley Thorp, selon lesquels à tout moment le prix du marché peut fluctuer et connaître également des hauts et des bas.
En dérivant, combinant ces deux équations, Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton découvrirent, à leur tour, l’équation la plus célèbre de la finance.
Cette équation relie le prix de tout type de contrat à n’importe quel actif, actions, obligations ou autre.
La même année où ils ont publié cette équation, le Chicago Board Options Exchange a été fondé.
Mais pourquoi cette équation est-elle si importante ? Comment cela a-t-il changé le jeu de la finance ? C’est que lorsque l’équation aux dérivées partielles est résolue, nous avons une formule explicite pour obtenir le prix de l’option en fonction de l’ensemble de ces paramètres d’entrée, et pour la première fois une expression explicite apparaît dans laquelle les paramètres sont saisis, et cela le numéro apparaît pour que les gens l’utilisent dans leurs opérations.
Comptée comme référence pour le trading d’options à Wall Street. Le marché des options négociées en bourse a explosé et constitue désormais une industrie de plusieurs milliards de CHF, le volume de ce marché doublant tous les 5 ans ! C’est l’équivalent financier de la Loi de Moore.
Il existe d’autres activités qui ont connu une croissance tout aussi rapide, comme les swaps sur défaut de crédit, le marché des produits dérivés de gré à gré, le marché de la dette, les titres industriels valant plusieurs milliards de Dollars qui, d’une manière ou d’une autre, utilisent l’idée de tarification des options de Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton, cela a ouvert une nouvelle façon de se protéger contre tout et pas seulement pour les hedge funds.
Aujourd’hui, presque toutes les grandes entreprises, les gouvernements et les investisseurs utilisent des options pour se couvrir contre leurs propres risques.
Disons que vous dirigez une compagnie aérienne et que vous craignez qu’une augmentation du prix du pétrole n’affecte les bénéfices. Si nous utilisons l’équation de Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton, il existe un moyen de couvrir ce risque avec précision et efficacité. Si vous évaluez une option d’achat de quelque chose qui suit le prix du pétrole et que cette option est payante et que les prix du pétrole augmentent. Ceci peut bien être un excellent moyen de compenser le coût plus élevé du carburant.
Cette équation contribue à réduire les risques et génère également des bénéfices dans la bataille entre les traders haussiers et les vendeurs de hedge funds pariant contre les actions.
GameStop Stock Up 7% GameStop est un exemple intéressant pour de nombreuses raisons, mais les options figuraient en bonne place, car un petit groupe d’utilisateurs de ce sous-canal Reddit de Wall Street Beats a décidé que les gestionnaires de fonds spéculatifs qui vendaient les actions et pariaient que la société fermerait ses portes et devraient être punis. Ils ont acheté des actions GameStop pour faire monter le prix, et il s’avère qu’acheter des actions ne suffit pas, car avec de l’argent, vous pouvez acheter des actions pour une grande valeur, avec 1 CHF vous pouvez acheter des options qui affectent bien plus que des actions. Peut-être que dans certains cas des actions valant 10 ou 20 CHF d’options donnent un profit naturel sur ces dépôts et cette combinaison de pouvoir acheter des actions et des options a fait monter le prix très haut a fait que les gestionnaires de ces hedge funds ont perdu beaucoup d’argent très rapidement.
Le marché des dérivés est très vaste, c’est un domaine très large qui émerge de Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton.
Il existe des estimations de la taille du marché des dérivés, mais il faut d’abord clarifier ce qu’est un dérivé, un dérivé est un dépôt financier dont la valeur est dérivée d’un autre dépôt financier, une option est un exemple de dérivé, généralement la taille du marché des dérivés est d’environ plusieurs centaines de milliards de CHF et comparée à la taille des dépôts sous-jacents sur lesquels elle est basée, valent beaucoup plus que les dépôts sous-jacents.
Je dois faire un petit break, car il me semble absolument fou, qu’il y ait plus d’argent sur les choses sur lesquelles ils sont basés que sur la chose elle-même ! (tout à fait surréaliste !)
C’est vrai, mais pouvez-vous me dire comment cela fonctionne, pourquoi les options vous permettent de prendre cet élément sous-jacent et de le transformer en éléments 5, 10, 20 ou 50 éléments. Ces morceaux de papier que nous appelons options et produits dérivés nous permettent de créer de nombreuses choses, de nombreuses versions différentes de l’actif sous-jacent, des versions que les gens trouvent plus acceptables en raison de leurs propres différences en termes de risque et de gain.
Cela rend les marchés et l’économie mondiale plus stables, moins stables ou non affectés par les trois, et il s’avère que dans les périodes difficiles, ces marchés sont une source très importante de liquidité et donc de stabilité dans les périodes anormales, c’est-à-dire lorsqu’il y a il y a un peu de stress sur le marché tous ces dépôts peuvent aller dans une direction à la baisse et quand ils baissent, ils peuvent générer une crise économique.
Dans ces circonstances, les marchés dérivés peuvent exagérer ce type de suppression du marché.
En 1997 Myron Scholes et Robert King Merton ont remporté le prix Nobel Prix d’économie.
Ils ont reconnu Fischer Black pour sa contribution, mais malheureusement, il est décédé deux ans plus tôt…
Nous allons gagner beaucoup d’argent avec les options, mais Fischer Black, Myron Scholes et Robert King Merton ont dit au monde entier quel est le secret.
Maintenant que la formule de tarification des options est connue, les hedge funds devront découvrir de meilleures façons de trouver les inefficacités du marché.
James Simons ne connais pas le marché boursier, il était mathématicien, ses travaux sur la géométrie riemannienne ont joué un rôle déterminant dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, notamment la théorie des nœuds de champ quantique et de l’informatique quantique.
La théorie de Chern Simons a déterminé les fondements de la théorie des cordes.
En 1976 La Mathematical Society lui a décerné le prix Oswald Veblen en géométrie. Mais au sommet de sa carrière universitaire, James Simons a proposé un nouveau défi en créant Renaissance Technologies en 1978. Sa stratégie consistait à utiliser l’apprentissage automatique pour trouver des modèles en bourse.
Les modèles offrent des opportunités de gagner de l’argent. L’idée était de rechercher une énorme quantité de données, et à l’époque nous devions le faire à la main. Alors ils se sont adressés à la Réserve Fédérale et ont copié l’historique des taux d’intérêt et d’autres datas, parce que leur logique n’existait pas dans les ordinateurs.
Le marché de l’époque était trop complexe pour que quiconque puisse faire des prévisions précises, mais James Simons, qui avait travaillé pour l’Institut Américain d’Analyse de la Défense pendant la guerre froide et avait brisé les codes russes en extrayant des modèles à partir d’énormes masses de données, était convaincu qu’il pouvait utiliser la même approche pour le marché. Il a utilisé ses contacts universitaires pour recruter un groupe des meilleurs scientifiques. Quels étaient les critères d’embauche de personnes connaissant la finance, que recherchaient-ils ? des personnes titulaires d’un doctorat en physique et évidemment des personnes qui connaissait la géométrie, l’astronomie, les mathématiques ou les statistiques, quelqu’un qui connaisse la science et qui en savait beaucoup.
Donc, il n’est pas du tout surprenant que des physiciens et des mathématiciens se soient impliqués dans ce domaine. Tout d’abord, la finance paie bien mieux que d’être professeur de physique ou de mathématiques et pour de nombreux physiciens et mathématiciens, l’avantage de valoriser les options était tout aussi intéressant que tout ce qu’ils faisaient dans leur profession.
Une de ces personnes Leard Bom a été le pionnier des modèles de Markov cachés et tout comme Albert Einstein, il a réalisé que même, si nous ne pouvons pas observer directement les atomes, nous pouvons déduire leur existence grâce à leur effet sur les grains de pollen.
Les modèles de Markov cachés recherchent des facteurs qui ne sont pas directement observables, mais qui ont un effet sur ce que nous observons.
Peu de temps après, Renaissance Technologies a lancé le désormais célèbre fonds Medallion, en utilisant des modèles de Markov cachés et d’autres stratégies basées sur les données. Le fonds Medallion est devenu le fonds d’investissement offrant le rendement le plus élevé de l’histoire !
Cela a amené Bradford Cornell de l’UCLA à conclure que l’hypothèse d’un marché efficient était peut-être fausse.
Dans son article Medallion le meilleur contre-exemple, en 1988 il a publié un article sur le marché boursier et a constaté que l’hypothèse était fausse, l’hypothèse peut être rejetée avec les données car il y a de la prévisibilité sur le marché boursier, donc il dit que c’est possible battre le marché, c’est ce qu’il dit :
Il est possible de battre le marché si vous avez les bons modèles, la bonne formation, les ressources, la puissance opérationnelle et tout ça oui ceux qui ont trouvé des modèles dans le marché boursier et son caractère aléatoire sont habituellement des physiciens et des mathématiciens.
Mais leur impact va au-delà de l’augmentation de leur fortune. En modélisant la dynamique du marché, il fournit de nouvelles informations sur le risque et ouvre la voie à des déterminants entièrement nouveaux de ce que devrait être le prix exact des produits dérivés, contribuant ainsi à éliminer les inefficacités du marché.
Mais ironiquement, si nous parvenons à découvrir toutes les tendances du marché boursier, connaître ces tendances nous permettra de les éliminer et nous aurons enfin, un marché très efficace où les fluctuations des prix seront véritablement aléatoires.
josé martínez
